🧩 组合与逻辑

🎨 主题

1. ★★☆☆☆ 用1、2、3组成三位数(数字不重复)，共几个？(1分)

思路：排列——第1位3种、第2位剩2种、第3位1种。3!=6

2. ★★☆☆☆ 5个人站一排，几种站法？(1分)

思路：5!=5×4×3×2×1=120

3. ★★☆☆☆ 4个同学选2个参加比赛，几种选法？(1分)

思路：组合——C(4,2)=4×3÷2=6

4. ★★☆☆☆ 从6人中选3人，几种选法？(1分)

思路：C(6,3)=6×5×4÷6=20

5. ★★☆☆☆ 0、1、2、3组成无重复数字三位数，几个？(1分)

思路：百位1/2/3选1→×十位剩3→×个位剩2=18

6. ★★☆☆☆ 4男3女排一排男女相间，几种？(1分)

思路：男第一4×3×3×2×2×1×1=144；女第一同理144。共288

7. ★★☆☆☆ 5种颜色的球各一个取3个，几种取法？(1分)

思路：C(5,3)=10

8. ★★☆☆☆ 4件礼物分给3个小朋友每人至少1件，几种？(1分)

思路：选1人得2件：C(3,1)×C(4,2)×2!=3×6×2=36

■ 中等题

9. ★★★★☆ 至少取几个自然数保证有两个差是5的倍数？(2分)

思路：抽屉原理——余数0-4共5类，取6个数必有两同余→差被5整除

10. ★★★★☆ 扑克54张(含大小王)至少抽几张保证3张同花色？(2分)

思路：最坏：各花色2张+大小王→10张，第11张必成3张同花

11. ★★★☆☆ 1-100取51个数必有两个互质，为什么？(2分)

思路：最坏取50个奇数，第51个是偶数→与该偶数相邻奇数必被选→相邻数互质

12. ★★★☆☆ 边长1正方形内放5点，至少两点距离≤？(2分)

思路：四等分4个小正方形，5点必有两点在同一小正方形内，对角线=√(0.5²+0.5²)=√2/2

13. ★★★☆☆ 1-100至少取几个保证有一个是另一个的倍数？(2分)

思路：构造51个倍数链集合，取51个数必有两数同集合→倍数关系

14. ★★★☆☆ 红黄蓝球各10个，至少取几个保证5个同色？(2分)

思路：最坏每种4个共12→第13个必成5个同色

15. ★★★☆☆ A说B说谎，B说C说谎，C说AB都说谎。谁说真话？(2分)

思路：假设A真→B假→C真(矛盾)。假设B真→A假→C假(正确)→B真

16. ★★★★☆ 甲说不是第一，乙说我是第一，丙说不是最后。仅一人真话，第一是谁？(2分)

思路：假设甲第一→甲假乙假丙真（丙不是最后正确）→成立→第一=丙

17. ★★★★☆ 上题最后一名是谁？(2分)

思路：丙第一，乙说自己是第一假→乙不是第一。丙真→丙第一。甲最后

18. ★★★★☆ 甲乙丙丁四人每两人赛一场，甲3场乙2场丙1场，丁几场？(2分)

思路：甲vs乙丙丁，丙vs甲，乙vs甲丁→丁vs甲和乙→2场

◆ 挑战题

19. ★★★★☆ 圆周上6点，每两点连弦，圆内最多几个交点？(3分)

思路：圆内接四边形对角线交点在圆内→C(6,4)=15

20. ★★★★☆ 凸八边形对角线内部最多几个交点？(3分)

思路：C(8,4)=70

21. ★★★★☆ 平面16条直线最多几个交点？(3分)

思路：C(16,2)=120

22. ★★★★☆ 8个球队单循环赛几场？(3分)

思路：C(8,2)=28

📖 提交后看详细讲解+图解苏教版四上奥数难度